Eine Verallgemeinerung des Bézoutschen Theorems

Zusammenfassung Um die Lösungsklassen (Klassen proportionaler Lösungen) eines Systems von n homogenen Gleichungen f 1 = 0, …, f n = 0 der Gradzahlen m 1,…, n n , mit n + 1 Unbekannten x 0, …, x n , zu finden, bildet man die „u- Resultante“ des Gleichungssystems, d. h. die Resultante der Formen f 1, …, f n und einer allgemeinen Linearform Σ u k x k . Die u- Resultante hat als Funktion der u i den Grad $$ \mathop{{II}}\limits_{1}^{n} {{m}_{i}} $$ und zerfällt (in einem geeigneten Erweiterungskörper des Rationalitätsbereichs der Koeffizienten) in Linearfaktoren Σ u k ξ k (a) . Im allgemeinen, das heißt wenn die Formenkoeffizienten Unbestimmte sind, sind diese Linearfaktoren alle verschieden; für spezielle Werte können aber vielfache Faktoren vorkommen; oder es kann vorkommen, daß die u- Resultante identisch verschwindet, nämlich dann, wenn unendlich viele Lösungsklassen vorhanden sind. Sehen wir von dem letzten Fall ab, so repräsentieren die Koeffizienten ξ 0 (a) , …, ξ n (a) eines jeden Linearfaktors eine Lösungsklasse. Ein μ- facher Linearfaktor gibt eine „Lösung der Multiplizität μ“. Die Summe der Multiplizitäten der Lösungsklassen1) ist somit $$\mathop{\prod }\limits_{1}^{n} {{m}_{i}}$$ ; dies ist der Satz von Bézout in moderner Gestalt2). Wie man sieht, gibt hier die u- Resultante das Mittel, die Multiplizitäten so zu definieren, daß die „Erhaltung der Anzahl“ gilt: die Anzahl der Lösungen im „allgemeinen“ Fall ist gleich der Summe der Multiplizitäten im Spezialfall.