Zur algebraischen Geometrie XIII

Zusammenfassung In einer Reihe von Arbeiten1) habe ich versucht, eine rein algebraische und strenge Grundlage der algebraischen Geometrie zu schaffen. Da diese Arbeiten sich über mehr als zehn Jahre erstrecken, war es unvermeidlich, daß die in früheren Arbeiten entwickelten Begriffe später etwas verallgemeinert und abgewandelt wurden, daß der Schwerpunkt sich manchmal verschoben hat, daß Begriffsbildungen durch andere ersetzt wurden. Auch ergaben sich starke Vereinfachungen vor allem dadurch, daß die schwierigen idealtheoretischen Hilfsmittel, die anfangs herangezogen wurden, sich als unnötig herausgestellt haben. Schließlich bin ich durch Zuschriften und eigene Vorlesungserfahrung auf die schwierige, manchmal etwas zu knappe Darstellung in einigen der erwähnten Arbeiten aufmerksam geworden. Aus allen diesen Gründen erschien eine neue, vereinfachte und verbesserte Darstellung der Grundlagen der algebraischen Geometrie angebracht. In dieser Arbeit beschränke ich mich in der Hauptsache darauf, die Ergebnisse der Arbeiten „Nullstellentheorie“, „Multiplizitätsbegriff“ und ZAG I sowie den Anfang von ZAG VI neu darzustellen; in einer anschließenden Arbeit (ZAG XIV) sollen die von „Bézout“ neu bewiesen und erweitert werden. Dabei wird aus der Idealtheorie ausschließlich der Hilbertsche Basissatz (vgl. meine Moderne Algebra II, § 80), ferner aus der Eliminationstheorie der Hilbertsche Nullstellensatz und die Existenz des Resultantensystems für homogene Formen benutzt werden. Aus der Algebra wird sonst nur die Körpertheorie (Moderne Algebra I, Kap. 3, 4 und 10) als bekannt vorausgesetzt, aus der Geometrie der Begriff des projektiven Raumes und die einfachsten Sätze über lineare Unterräume.