Spezielle durch Eigenwertprobleme definierte Funktionen

Zusammenfassung Wir wollen in diesem Kapitel auf einige der schon früher definierten Funktionenklassen näher eingehen, nämlich auf die Besselschen Funktionen, die Legendreschen Funktionen und die allgemeinen Laplaceschen Kugelfunktionen. Dabei werden wir uns auf einen etwas allgemeineren Standpunkt stellen als in den vorangehenden Kapiteln. Wir wollen nämlich die unabhängige Variable behebige komplexe Werte durchlaufen lassen und demgemäβ unsere Funktionen als Funktionen einer komplexen Variablen mit Hilfe der Methoden der Funktionentheorie untersuchen. Auch werden wir nicht nur die oben genannten Funktionen, sondern die Gesamtheit der Lösungen der betreffenden Differentialgleichungen, denen diese Funktionen genügen, ins Auge fassen. Wir wollen als bekannt voraussetzen, daβ jede solche lineare Differentialgleichung auch bei komplexer unabhängiger Variabler z=x+iy zwei linear unabhängige Lösungen besitzt, aus denen sich die allgemeinste mit konstanten Koeffizienten linear zusammensetzen läβt, und daβ alle Lösungen, abgesehen von festen durch die Koeffizienten gegebenen singulären Punkten, reguläre analytische Funktionen von z sind. Durch solche lineare Differentialgleichungen werden zahlreiche neue und wichtige Funktionenklassen definiert, die sich nicht unmittelbar auf die elementaren Funktionen reduzieren lassen, aber vielfach durch Integrale über elementare Funktionen ausgedrückt werden können.