Das Problem der Reihenentwicklung willkürlicher Funktionen

Zusammenfassung Viele der im vorigen Kapitel behandelten Zusammenhänge finden eine weitgehende Analogie, wenn man statt der Vektoren im n-dimensionalen Räume Funktionen von einer oder mehreren Veränderlichen betrachtet, die in einem vorgegebenen Grundgebiet G definiert sind. So kann man zu der Tatsache, daβ sich im Räume von n Dimensionen jeder Vektor linear durch n unabhängige, sonst aber beliebig gewählte Vektoren ausdrücken läβt, das Problem in Parallele setzen, eine mehr oder weniger willkürlich angenommene Funktion im Grundgebiete G als lineare Kombination aus vorgegebenen Funktionen darzustellen. (Die Menge dieser vorgegebenen Funktionen muβ, wie sich im folgenden als selbstverständlich erweisen wird, unendlich sein.) Wir sprechen dann von dem Problem der Reihenentwicklung der willkürlich angenommenen Funktion nach dem vorgeschriebenen Funktionensystem. Im vorliegenden Kapitel soll diese bei den Aufgaben der mathematischen Physik in der mannigfachsten Form auftretende Fragestellung unter allgemeinen Gesichtspunkten behandelt werden.