Algebren

Zusammenfassung Ein Ring U, der gleichzeitig ein endlich-dimensionaler Vektorraum über einem Körper P ist und die Bedingung $$\begin{array}{*{20}{c}} {(\alpha u)v = u(\alpha v) = \alpha (uv)}&{f\ddot ur}&{\alpha \in P} \end{array}$$ erfüllt, heißt eine assoziative Algebraoder ein hyperkomplexes System über P. Läßt man die Forderung der Assoziativität fallen, so erhält man den allgemeineren Begriff einer (linearen) Algebra.Unter den nicht assoziativen Algebren sind zwei Arten besonders hervorzuheben: 1. Alternativringe, in denen die folgenden eingeschränkten Assoziativgesetze gelten: $$ \begin{gathered} a\left( {ab} \right) = \left( {aa} \right)b, \hfill \\ b\left( {aa} \right) = \left( {ba} \right)a. \hfill \\ \end{gathered} $$ Das älteste Beispiel eines echten Alternativringes ist die Algebra der Oktaven von Cayley; siehe darüber M. Zorn: Alternativkörper und quadratische Systeme. Abh. math. Sem. Univ. Hamburg 9 (1933), S. 395. Die Alternativringe sind für die Axiomatik der ebenen Geometrie wichtig1. Für neuere Untersuchungen siehe R. D. Schafer: Structure and representation of non-associative algebras. Bull. Amer. math. Soc. 61 (1955), p. 469. 2. Liesche Ringe, in denen die folgenden Rechenregeln gelten: $$ \begin{gathered} ab + ba = 0, \hfill \\ a \cdot bc + b \cdot ca + c \cdot ab = 0. \hfill \\ \end{gathered} $$