Struktur der Matrix

Zusammenfassung Bisher haben wir unsere Betrachtungen auf diagonalähnliche Matrizen beschränkt, das sind solche n-reihigen Matrizen, zu denen auch im Falle mehrfacher Eigenwerte genau n linear unabhängige Eigenvektoren existieren. Diese stellen ein der Matrix eigentümliches im allgemeinen schiefwinkliges Achsensystem dar, das System der Eigenachsen, in welchen die Matrix die besonders einfache Form der Diagonalmatrix Λ= Diag(λi) ihrer Eigenwerte annimmt. Aus der Existenz n unabhängiger Eigenvektoren folgte weiter eine Reihe von Eigenschaften, die sich sowohl für die theoretische als auch für die praktische Behandlung der Eigenwertaufgabe als gleich bedeutsam erwiesen. Wir sahen aber auch, daß es darüber hinaus Matrizen gibt, deren charakteristische Matrix 𝔄 — λσ𝔈 zu einem mehrfachen Eigenwert λ σ der Vielfachheit pσ einen Rangabfall d σ pσ aufweist, so daß nicht mehr die volle Anzahl von Eigenvektoren vorhanden ist. Wir deuteten auch schon an, daß sich solche Matrizen durch Ähnlichkeitstransformation überhaupt nicht mehr auf Diagonalform überführen lassen. Der Klasse der diagonalähnlichen Matrizen, die, wie in § 16.2 gezeigt, mit den normalisierbaren Matrizen identisch sind, stehen somit weitere Matrizenklassen gegenüber.