Das Eigenwertproblem

Zusammenfassung Wie in den Abschnitten 11.5 und 12.3 an einigen Beispielen deutlich wurde, wird man bei zahlreichen Aufgaben auf eine Fragestellung geführt, die für die Theorie der Matrizen von der größten Bedeutung geworden und geradezu als das Kernstück dieser Theorie anzusehen ist. Es handelt sich darum, zu einer quadratischen, sonst aber beliebigen (reellen oder komplexen) Matrix A Vektoren r derart zu suchen, daß der mit A transformierte Vektor y = A r dem Ausgangsvektor proportional, also ihm parallel ist: (1) $$\boxed{Ur = \lambda r}$$ mit einem zunächst noch unbestimmten Parameter λ. Ausführlich lautet die Aufgabe (1’) $$\left. \begin{gathered}{a_{11}}{x_1} + {a_{12}}{x_2} + ... + {a_{1n}}{x_n} = {\lambda _{x1}} \hfill \\{a_{21}}{x_1} + {a_{22}}{x_2} + ... + {a_{2n}}{x_n} = {\lambda _{x2}} \hfill \\..................................................... \hfill \\{a_{n1}}{x_1} + {a_{n2}}{x_2} + ... + {a_{nn}}{x_n} = {\lambda _{xn}} \hfill \\\end{gathered} \right\}$$ deren homogener Charakter deutlicher in der Schreibweise (1a) $$\boxed{(U - \lambda C)r = 0}$$ hervortritt. Die Matrix dieses Gleichungssystems, (2) $$U - \lambda C = \left( \begin{gathered}{a_{11}} - \lambda {a_{12}}...{a_{1n}} \hfill \\{a_{21}}{a_{22}} - \lambda ...{a_{2n}} \hfill \\.......................... \hfill \\{a_{n1}}{a_{n2}}...{a_{nn}} - \lambda \hfill \\\end{gathered} \right)$$ wird die charakteristische Matrix der Matrix A genannt. Sie spielt, wie wir bald sehen werden, für die Eigenschaften der A Matrix eine entscheidende Rolle.