Auflösung linearer Gleichungssysteme durch Matrizenmultiplikation

Zusammenfassung Die zahlenmäßige Auflösung umfangreicher linearer Gleichungssysteme stellt auch heute im Zeitalter der Rechenmaschine noch eines der zeitraubendsten und daher gefürchtetsten Rechenprobleme dar, wobei die Schwierigkeit nicht in der Aufgabe an sich liegt, welche ja nur die fortgesetzte Anwendung ganz elementarer Rechenoperationen verlangt, sondern allein in der außerordentlichen Häufung dieser Operationen. Steigt doch ihre Anzahl bei den üblichen Eliminationsverfahren für Gleichungssysteme mit n Unbekannten im wesentlichen mit der dritten Potenz von n an. Mit dem Problem der Gleichungsauflösung hat sich bekanntlich schon Gauss sehr eingehend beschäftigt. Er hat dem an sich lange bekannten Eliminationsverfahren die nach ihm benannte klassische Form des Gauss schen Algorithmus 1 gegeben (vgl. 11.2), welche Generationen hindurch mit Recht als der vollkommene Auflösungsweg’ angesehen worden ist, sofern sich nicht, bei überwiegenden Hauptdiagonalelementen, eine iterative Behandlung des Gleichungssystems empfiehlt, auf die wir im nächsten Abschnitt zu sprechen kommen. Bei der großen Bedeutung des Problems einerseits, seinen außerordentlichen Anforderungen an Rechenarbeit andrerseits hat es nicht an zahlreichen, bis in die neueste Zeit wiederholten Versuchen gefehlt, den Auflösungsprozeß abzukürzen. Soweit diese Vorschläge im Prinzip vom Gaussschen Vorgehen abweichen, hat sich indessen bei vorurteilsfreier Prüfung das letztere immer wieder als einwandfrei überlegen erwiesen1.