Hauptvektoren. Transformation auf Normalform

Zusammenfassung Es bleibt noch die Frage nach der Transformationsmatrix zur Ähnlichkeitstransformation einer beliebigen quadratischen Matrix A auf ihre Normalform zu beantworten. Die Antwort ist leicht für den Fall durchweg linearer Elementarteiler der charakteristischen Matrix. Dabei gibt es zur n-reihigen Matrix auch n linear unabhängige Eigenvektoren x i , deren Matrix 1 $$X = \left( {{x_1},{x_2},...,{x_n}} \right)$$ die gesuchte Transformationsmatrix darstellt ganz ähnlich wie bei der Hauptachsentransformation reeller symmetrischer Matrizen, 15.7. Denn die Eigenwertgleichungen 2 $$A{x_i} = {\lambda _i}{x_i}\;\left( {i = 1,2,...,n} \right)$$ lassen sich mit der Diagonalmatrix L der charakteristischen Zahlen λ i als Elementen zur Matrizengleichung $$AX = XL$$ zusammenfassen, woraus wegen der Nichtsingularität von X die gesuchte Ähnlichkeitstransformation folgt: 3 $${X^{ - 1}}AX = L$$ Der Unterschied gegenüber der Hauptachsentransformation reeller symmetrischer Matrizen besteht lediglich darin, daß die Transformation bei allgemeiner Matrix linearer Elementarteiler nicht mehr orthogonal und im allgemeinen auch nicht mehr reell ist.