Die Normalform

Zusammenfassung Im 15. Abschnitt haben wir gesehen, daß für eine reelle symmetrische Matrix A ein ausgezeichnetes Koordinatensystem, das System der Hauptachsen, existiert, in welchem die Matrix einer Lineartransformation eine besonders einfache Bauart, die Diagonalform L mit den charakteristischen Zahlen λ i als den Diagonalelementen annimmt. Die Ausführbarkeit dieser Transformation auf Hauptachsenform war bedingt durch die Existenz n linear unabhängiger Eigenvektoren, deren Orthogonalität die Trans-. formation noch überdies zu einer Orthogonaltransformation werden ließ. Bei allgemeiner Matrix versagt demnach dieser einfache Weg, sobald die Matrix im Falle mehrfacher charakteristischer Zahlen nicht mehr n linear unabhängige Eigenvektoren besitzt. Die in 16.5 bzw. 17.4 angegebene Transformation einer beliebigen Matrix auf Diagonalform durch zwei orthogonale bzw. unitäre Matrizen. U, V kann nicht eigentlich als die Verallgemeinerung der Hauptachsentransformation angesehen werden, so wertvoll die damit verbundene geometrische Interpretierung auch sein mag. Abgesehen davon, daß dabei nicht mehr die charakteristischen Zahlen λ i der Matrix A als Diagonalelemente auftreten, handelt es sich hier vor allem nicht mehr um eine Ähnlichkeitstransformation, also nicht mehr darum, eine Lineartransformation Ax=y durch Wahl geeigneter Koordinaten auf eine besonders einfache Form zu bringen, wie das bei