Die Minimumgleichung

Zusammenfassung So wichtig charakteristische Gleichung und ihre Wurzeln, die charakteristischen Zahlen für die Theorie der Matrizen sind, so sind sie doch, wie sich bereits im Laufe des letzten Kapitels gezeigt hat, für die Eigenschaften einer Matrix allein noch nicht bestimmend, insbesondere dann nicht, wenn unter den charakteristischen Zahlen Mehrfachwurzeln vorkommen. So besitzen beispielsweise die beiden Matrizen $${A_1} = \left( \begin{gathered} - 3\;1\;3 \hfill \\ 10\;0\; - 6 \hfill \\ - 10\;2\;8 \hfill \\ \end{gathered} \right)\;und\;{A_2} = \left( \begin{gathered} - 1\;1\;2 \hfill \\ 8\;0\; - 5 \hfill \\ - 6\;2\;6 \hfill \\ \end{gathered} \right)$$ dieselbe charakteristische Gleichung λ 3−5λ 2+8λ−4=0 mit den charakteristischen Zahlen λ 1=1, λ 2=λ 3=2. Während jedoch zur ersten Matrix drei linear unabhängige Eigenvektoren existieren, trifft dies bei der zweiten nicht mehr zu, da die charakteristische Matrix A2−λE zur Doppelwurzel λ=λ 2=λ 3=2 einen Rangabfall 1 und damit nur einen einzigen linear unabhängigen Eigenvektor, insgesamt also nur zwei Eigenvektoren besitzt. Für wesentliche Eigenschaften einer Matrix kommt es somit, wie wir schon sahen, auf den Rangabfall der charakteristischen Matrix an. Die einfachen und übersichtlichen Verhältnisse, die wir bei den symmetrischen Matrizen angetroffen haben, waren in erster Linie der Tatsache zuzuschreiben, daß der Rangabfall hier immer gerade gleich der Vielfachheit der betreffenden charakteristischen Zahl ist. Die Frage nach dem Rangabfall, welche im Mittelpunkt unserer weiteren Betrachtungen steht, verlangt eine eingehende Untersuchung des inneren Aufbaus, der Struktur der Matrix. Es ist zu erwarten, daß Matrizen wie die beiden oben angeführten sich trotz gleicher charakteristischer Zahlen in wesentlichen Zügen ihrer Struktur unterscheiden werden. Mit diesen Fragen des Matrizenbaus werden wir uns daher im vorliegenden Kapitel zu beschäftigen haben, um damit zu weiteren Aussagen über die Eigenschaften einer beliebigen Matrix vorzustoßen. Zuvor aber wenden wir uns noch einmal der charakteristischen Gleichung und einer bestimmten Abart, der sogenannten Minimumgleichung einer Matrix zu, die, wie sich zeigen wird, mit unserer Hauptfrage nach dem Rangabfall der charakteristischen Matrix in engem Zusammenhang steht.