Leonhard Eulers unendliche Summen

Auszug Wir gehen oft mit unendlichen Summen um, ohne es zu merken. Wer denkt schon daran, dass hinter der Dezimalbruchentwicklung von 10/3, $$ \frac{{10}} {3} = 3,33333333333333333333 \ldots , $$ eine „unendliche Summe“ (oder „Reihe“) steckt? Streng nach der Definition einer Dezimalzahl ist $$ \begin{gathered} 3,33333333 \ldots \hfill \\ = 3 + 0,3 + 0,03 + 0,003 + \ldots \hfill \\ = 3 + \frac{3} {{10}} + \frac{3} {{10^2 }} + \frac{3} {{10^3 }} + \frac{3} {{10^4 }} + \ldots \hfill \\ \end{gathered} $$ Welchen Sinn sollen wir einer solchen Summe oder allgemein der unendlichen Summe $$ S = 1 + q + q^2 + q^3 + q^4 + q^5 + \ldots $$ geben? Wir klammern einen Faktor q aus: $$ S = 1 + q(1 + q + q^2 + q^3 + q^4 + q^5 + \ldots ) $$ und finden in der Klammer den ursprünglichen Ausdruck unserer unendlichen Summe wieder.