Die Mächtigkeit der Boreischen Mengen

Auszug Ein System von Mengen, dem auch die Summe von abzählbar vielen Mengen des Systems angehört, heiße ein σ-System; ein System, dem auch der Durchschnitt von abzählbar vielen Mengen des Systems angehört, heiße ein δ-System; ein System, das beide Eigenschaften hat, ein (σ δ)-System. Wir bilden das kleinste (σ δ)-System, dem alle Gebiete*) angehören, und bezeichnen die Mengen dieses Systems als Borelsche Mengen. Wir wollen der Einfachheit wegen annehmen, daß es sich um Punktmengen in einem euklidischen Raume von beliebig vielen Dimensionen handelt (auf andere Räume, in denen unsere Betrachtungen gültig bleiben, wird an einigen Stellen hingewiesen); da man dann auch von Würfeln statt von Gebieten ausgehen kann, so haben die Borelschen Mengen, wenigstens die beschränkten und gewisse unbeschränkte unter ihnen,**) ein Lebesguesches Maß und werden bekanntlich „im Boreischen Sinne meßbar“ (mesurables B) genannt. Zu den Boreischen Mengen gehören der Reihe nach: (1) die Gebiete G, (2) die Durchschnitte G δ aus abzählbar vielen Gebieten (die Summen G σ aus abzählbar vielen, ja sogar die Summen aus beliebig vielen Gebieten sind selbst wieder Gebiete)