Hausdorffs Blick auf die entstehende algebraische Topologie

Auszug Die algebraischen Methoden der Topologie waren seit Poincarés ersten beiden Compléments de l’ Analysis Situs (1899/1900) bis weit in die 1920er Jahre auf eine kombinatorische Charakterisierung der betrachteten Räume angewiesen. In der Homologietheorie wurde mit Ketten, Zyklen und Rändern wie mit Elementen kommutativer Gruppen gerechnet; der Gruppenaspekt wurde aber bis zum Beginn der eigentlichen Algebraisierung entweder verdrängt oder bestenfalls beiläufig erwähnt.2 Für endliche Zellenkomplexe (Poincaré) und lineare simpliziale Komplexe (Brouwer) erfolgte die Berechnung von Betti- und Torsionszahlen sowie der Fundamentalgruppe mit Standardmethoden der Theorie der linearen Gleichungssysteme und der Elementarteilertheorie. Man erwartete die Invarianz dieser numerischen Charakteristika, stützte sich dabei aber auf die ab 1926 (H. Kneser) als Hauptvermutung der kombinatorischen Topologie bezeichnete Annahme, daß je zwei Zellenzerlegungen desselben Raumes durch Verfeinerungen wechselseitig kombinatorisch ineinander überführt werden können. Gegenüber dem allgemeinen, auf mengentheoretische Methoden gestützten Zugang zum Studium topologischer Räume klaffte zu dieser Zeit eine kaum überbrückbare Kluft.