Poincarésche Räume, Knoten, Gruppen: Max Dehn

Zusammenfassung Während Heinrich Tietze an seiner Habilitationsschrift arbeitete, dachte Max Dehn weiter über topologische Fragen nach. Wie Wirtinger und Tietze stieß auch er dabei auf Knoten. Allerdings kam es zwischen den Wiener Mathematikern und Dehn zunächst nur zu einem punktuellen Kontakt — beide arbeiteten in verschiedenen hegemonialen Bereichen, wie in den letzten beiden Kapiteln bereits deutlich geworden ist. Auch das Ziel von Dehns Arbeit war anfänglich ganz verschieden von dem Tietzes. Während dieser das durch Poincaré umrissene Feld der Topologie zu systematisieren suchte und dabei unter anderem das durch Wirtingers funktionentheoretische Arbeiten entstandene Wissen einarbeitete, hoffte Dehn ein ganz spezielles Problem zu lösen, das Poincarés Arbeiten offengelassen hatten: die topologische Charakterisierung des „gewöhnlichen Raumes“ bzw. der dreidimensionalen Sphäre. Es sollte ihm nicht gelingen. Stattdessen wurde er auf eine neue Konstruktionstechnik für dreidimensionale Mannigfaltigkeiten geführt, in welcher Knoten die entscheidende Rolle spielten. Das Studium dieser Mannigfaltigkeiten führte Dehn sowohl auf eine Reihe von Aussagen über Knoten als auch auf einige sehr fundamentale Probleme der kombinatorischen Gruppentheorie. Während Dehns entsprechende Arbeiten nur einige recht spezielle Fragen definitiv lösten, warfen sie neue Fragenkomplexe auf, von denen sich in der Folge zeigte, daß sie zu den tiefsten sowohl der dreidimensionalen Topologie als auch der kombinatorischen Gruppentheorie des 20. Jahrhunderts gehörten. Insbesondere ist bis heute nicht geklärt, ob der von Dehn eröffnete Weg zur Bearbeitung der Poincaréschen Vermutung nicht doch zu ihrer Entscheidung führen könnte.