Eléments de la méthode de forcing dans quelques travaux de N. N. Lousin

Résumé Le système d’axiomes ZFC de la théorie des ensembles, c.-à-d. le système d’axiomes de Zermelo-Fraenkel avec l’introduction dans celui-ci de l’axiome de choix, habituellement est considéré si fort, ≪ que tout ce qui peut être prouvé en mathématiques par les moyens ordinaires, peut être aussi prouvé par les moyens formels ZFC ≫ ([Ouspenski 1985], 87), ou, en d’autres mots, ≪ l’affirmation mathématique quelconque ... y est exprimée de manière que ce système peut être considéré comme le fondement des mathématiques contemporaines≫ ([Malyhin 1988], 83–84). Toutefois, cela ne veut pas dire, que le système donné est fermé et autorégissant, épuisant toutes les mathématiques. Suivant le théorème de GÖDEL sur l’insuffisance1 (1931) il y avaient les affirmations indépendantes de ZFC, c.-à-d. de telles propositions mathématiques T, que ni T proprement dit, ni sa négation ¬T y sont indémontrables. L’une des options importantes des études selon les bases des mathématiques après l’apparition de cette théorie consiste en recherches et en examen des affirmations indépendantes de ce genre, de leur adjonction à ZFC et l’obtention des systèmes d’axiomes flexibles de la théorie des ensembles, telles comme ZFC + CH ou ZFC + ¬CH, ou CH fait désigner l’hypothèse de continu. Il est naturel que ces en elles-mêmes portent le caractère non-destructif et pour qu’elles soient une réussite, il est utile de posséder de la méthode assez générale de distinction de pareilles affirmations spécifiques.2