Zwei Beweise eines von Herrn Fatou vermuteten Satzes

Zusammenfassung Herr Fatou1) vermutete, dass sich der Konvergenzkreis für eine beliebige Potenzreihe zur natürlichen Grenze machen lässt, bloss durch geeignete Änderung der Vorzeichen der Koeffizienten. Genauer gesagt handelt es sich um folgenden Satz: Es sei der Einheitskreis der wahre Konvergenzkreis der Potenzreihe a 0 + a 1 x + ⋯ + a n x n + ⋯ ; $${a_0} + {a_1}x + \cdots + {a_n}{x^n} + \cdots ;$$ dann lässt sich eine unendliche Folge ε 0 , ε 1 , ε 2 , … , ε n , … , $${\varepsilon _0},{\varepsilon _1},{\varepsilon _2}, \ldots ,{\varepsilon _n}, \ldots ,$$ wo die εn nur der beiden Werte +1 und —1 fähig sind, derart bestimmen, dass die Reihe ε 0 a 0 + ε 1 a 1 x + ε 2 a 2 x 2 + ⋯ + ε n a n x n + ⋯ $${\varepsilon _0}{a_0} + {\varepsilon _1}{a_1}x + {\varepsilon _2}{a_2}{x^2} + \cdots + {\varepsilon _n}{a_n}{x^n} + \cdots $$ den Einheitskreis zur natürlichen Grenze hat.