Über die Weierstrass’sche σ-Funktion

Zusammenfassung Gelegentlich hat Weierstrass an die Funktionalgleichung (1) { σ ( u + u 1 ) σ ( u − u 1 ) σ ( u 2 + u 3 ) σ ( u 2 − u 3 ) + σ ( u + u 2 ) σ ( u − u 2 ) σ ( u 3 + u 1 ) σ ( u 3 − u 1 ) + σ ( u + u 3 ) σ ( u − u 3 ) σ ( u 1 + u 2 ) σ ( u 1 − u 2 ) = 0 , $$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sigma \left( {u + {u_1}} \right)\sigma \left( {u - {u_1}} \right)\sigma \left( {{u_2} + {u_3}} \right)\sigma \left( {{u_2} - {u_3}} \right)} \\ { + \sigma \left( {u + {u_2}} \right)\sigma \left( {u - {u_2}} \right)\sigma \left( {{u_3} + {u_1}} \right)\sigma \left( {{u_3} - {u_1}} \right)} \\ { + \sigma \left( {u + {u_3}} \right)\sigma \left( {u - {u_3}} \right)\sigma \left( {{u_1} + {u_2}} \right)\sigma \left( {{u_1} - {u_2}} \right) = 0,} \end{array}} \right. $$ welcher die σ-Funktion genügt, die folgende Bemerkung geknüpft1): „Man kann, ohne von der Funktion σ(u) irgend etwas zu wissen, direkt nachweisen, dass es eine vier willkürliche Konstanten enthaltende (transzendente) ganze Funktion der Veränderlichen u gibt, welche für σ(u) in die Gleichung (1) eingesetzt, dieselbe befriedigt. Man zeigt zu dem Ende zunächst, dass der Gleichung formell genügt werden kann, wenn man für σ(u) eine gewöhnliche Potenzreihe annimmt; dieselbe enthält nur ungerade Potenzen von u, und die Koeffizienten derselben lassen sich als ganze rationale Funktionen der vier ersten, die unbestimmt bleiben, ausdrücken. Mit Hilfe der Gleichung (1) selbst lässt sich dann ferner nachweisen, dass diese Potenzreihe bei beliebigen Werten der Veränderlichen u und der genannten willkürlichen Konstanten konvergent ist, also eine Funktion von der angegebenen Beschaffenheit darstellt.