Über die Anwendung eines funktionentheoretischen Prinzipes auf gewisse bestimmte Integrale

Zusammenfassung Wenn die Funktion f(x) in jedem endlichen Intervalle der positiven Zahlenaxe integrierbar ist und für unendlich grosse positive Werte von x stärker Null wird als jede endliche Potenz von 1 x $$\tfrac{1}{x}$$ , so stellt das Integral J ( x ) = ∫ 0 ∞ f ( x ) x 8 − 1 d x $$J(x) = \int_0^\infty {f(x){x^{8 - 1}}dx} $$ eine holomorphe Funktion der komplexen Variablen s vor in demjenigen Bereiche der s-Ebene, in welchem der reelle Teil von s positiv ist1). Macht man die weitere Voraussetzung, dass f(x) in der Umgebung von x = 0 in eine gewöhnliche Potenzreihe entwickelbar ist, so ergibt sich durch bekannte Methoden2), dass dann das Integral J(s) einen Zweig einer in der ganzen Ebene eindeutigen analytischen Funktion darstellt, die nur für s = 0 und für negative ganzzahlige Werte von s unstetig von der ersten Ordnung werden kann. (Des Näheren bleibt die Funktion an der Stelle s = - n stetig nach Subtraktion von c n s + n $$\tfrac{{{c_n}}}{{s + n}}$$ , wo c n den Koeffizienten von x n in der Entwicklung von f(x) bezeichnet.)