Sur une théorème de M. Hadamard

Résumé En étudiant le théorème publié par M. Hadamard dans le Tome 22 (1899) des Acta mathematica, p. 55–63, j’ai été amené à envisager l’intégrale double (1) les variables d’intégration z,t ainsi que le paramètre x étant complexes. L’application à l’intégrale (1) 1 ( 2 π i ) 2 ∬ f ( z ) φ ( t ) d z d t z t − x , $$ \frac{1}{{{{\left( {2\pi i} \right)}^2}}}\iint {\frac{{f\left( z \right)\varphi \left( t \right)dzdt}}{{zt - x}}}, $$ du théorème de Cauchy généralisé (voir Poincaré, Sur les résidus des intégrales doubles, Acta mathematica, vol. 9, 1887, p. 321–380; Picard, Traité dAnalyse, lre édition, vol. II, (p. 248) m’a fourni une démonstration facile du théorème de M. Hadamard et de quelques résultats s’y rattachant que M. Borel vient de publier récemment. En considérant des intégrales analogues à l’intégrale (1), j’ai obtenu encore quelques théorèmes analogues au théorème de M. Hadamard et j’exposerai la marche que j’ai suivie dans cette recherche, en me plaçant dans le cas le plus simple, celui de l’intégrale (2) 1 ( 2 π i ) 2 ∫ ∫ t ( z ) φ ( t ) d z d t x − ( z + t ) $$\tfrac{1}{{{{(2\pi i)}^2}}}\int {\int {\tfrac{{t(z)\varphi (t)dzdt}}{{x - (z + t)}}} } $$ .