Die unimodularen Substitutionen in einem algebraischen Zahlenkörper

Zusammenfassung Bei den folgenden Untersuchungen bediene ich mich einiger abkürzenden Bezeichnungen, die ich hier vorausschicke. Wenn zwischen den Zahlenpaaren x, y und x′, y′ die Gleichungen (1) x ′ = α x + β y y ′ = γ x + δ y { $$\left. \begin{gathered}x' = \alpha x + \beta y \hfill \\y' = \gamma x + \delta y \hfill \\\end{gathered} \right\}$$ bestehen, so sage ich, dass durch die Substitution oder Transformation S = ( α , β γ , δ ) $$S = \left( \begin{gathered}\alpha ,\beta \hfill \\\gamma ,\delta \hfill \\\end{gathered} \right)$$ das Zahlenpaar x, y in das Zahlenpaar x′, y′ übergeht, oder auch dass die Substitution 8 das erstere Zahlenpaar in das letztere überführt. Die Gleichungen (1) werde ich auch wohl symbolisch durch (2) ( x ′ , y ′ ) = S ( x , y ) $$(x',y') = S(x,y)$$ andeuten. Die Zusammensetzung der Substitutionen S = ( α , β γ , δ ) , S 1 = ( α 1 , β 1 γ 1 , δ 1 ) $$S = \left( \begin{gathered}\alpha ,\beta \hfill \\\gamma ,\delta \hfill \\\end{gathered} \right),{S_1} = \left( \begin{gathered}{\alpha _1},{\beta _1} \hfill \\{\gamma _1},{\delta _1} \hfill \\\end{gathered} \right)$$ geschieht nach der Formel (3) S S 1 = ( α α 1 + β γ 1 , α β 1 + β δ 1 γ α 1 + δ γ 1 , γ β 1 + δ δ 1 ) . $$SS1 = \left( \begin{gathered}\alpha {\alpha _1} + \beta {\gamma _1},\alpha {\beta _1} + \beta {\delta _1} \hfill \\\gamma {\alpha _1} + \delta {\gamma _1},\gamma {\beta _1} + \delta {\delta _1} \hfill \\\end{gathered} \right).$$ D. h. wenn neben den Gleichungen (2) die Gleichungen ( x , y ) = S 1 ( x 1 , y 1 ) $$(x,y) = {S_1}({x_1},{y_1})$$ bestehen, so ergibt die Elimination von x, y ( x ′ , y ′ ) = S S 1 ( x 1 , y 1 ) = T ( x 1 , y 1 ) , $$(x',y') = S{S_1}({x_1},{y_1}) = T({x_1},{y_1}),$$ wo T die auf der rechten Seite der Gleichung (3) stehende Substitution bezeichnet.