Über den Gebrauch des Integrationsweges

Zusammenfassung Ein bestimmtes einfaches Integral ist im allgemeinen durch seine zwei Grenzen noch nicht hinreichend definiert, sondern es muß noch gesagt werden, welche Reihe von Werten die unabhängige Variable (das Argument) von der untern Grenze an bis zur obern durchlaufen soll. Diese Reihe von Werten nenne ich den Integrationsweg. Ich nenne ferner Klippe der Integralfunktion jeden Wert des Arguments, für den das Integral seine Konvergenz, also auch seine Bedeutung verliert. So ist zum Beispiel x = 0 eine Klippe für die Funktion x 1/2; man kann die ganze Variation dieser Funktion nicht angeben, wenn x von einem negativen Anfangswert — a 2 durch reelle Werte hindurch bis zu einem positiven Endwert b 2 geführt wird; nimmt man zum Beispiel i a als Anfangswert der Funktion, so gelangt man mit dieser zwar sicher zu Null, kann sie aber von hier an nicht weiter fortführen, da in der Kontinuität kein Zwang liegt, der Funktion von da an entweder positive oder negative Werte zu geben. Um sämtliche Zahlen zu versinnlichen, ziehen wir in einem ebenen Felde zwei aufeinander senkrechte Achsen und nehmen die reelle Komponente irgendeiner gegebenen Zahl als Abszisse, die imaginäre als Ordinate des Punktes, der diese Zahl darstellen soll. Der positive Wert des Strahls, der vom Ursprung nach dem gegebenen Punkt hingeht, ist dann der absolute Wert der entsprechenden Zahl und der Polarwinkel, den der Strahl mit der Abszissenachse bildet, deren Phase.