Fortsetzung auf röhrenförmigen Gebieten

Zusammenfassung Eine besonders wichtige Klasse von Gebieten in $$\mathbb {C}^{n}$$ C n sind Röhrengebiete (oderRöhrendomäne DomäneRöhren DomäneRöhre), d. h., Gebiete der Form $$D:=\Omega +i\mathbb {R} ^{n},$$ D : = Ω + i R n , wo Ω ein Gebiet in $$\mathbb {R}^{n}\text{ ist. }\ \Omega$$ R n ist. Ω ist, wird die Basis des Röhrengebiets D genannt. Insbesondere ist $$\mathbb {C}^{n}= \mathbb {R}^{n}+i\mathbb {R}^{n}$$ C n = R n + i R n ein Röhrengebiet mit Basis $$\mathbb {R} ^{n}.$$ R n . Das Ziel dieses Kapitels ist es, einen Beweis für einen Fortsetzungssatz von Bochner zu geben, der besagt, dass jede auf einem Röhrengebiet D holomorphe Funktion holomorph auf die konvexe Hülle von D fortgesetzt werden kann. Bochners Theorem, im Gegensatz zu Hartogs’ Kugelsatz, gilt auch in Dimension 1. Wenn jedoch n = 1 ist, ist das Theorem trivial, da jedes Röhrendgebiet in $$\mathbb {C}$$ C mit seinerr konvexen Hülle übereinstimmt.