Меры Возможности И Внутренняя Норма Доходности Инвестиционных Проектов С Нечетко Определенными Платежами // A Possibilistic Approach To Calculating The Internal Rate Of Return For Investment Projects With Fuzzy Cash Flows

The internal rate of return (IRR) is among the most widely used characteristics of investment projects. In the deterministic case the IRR can be found as a solution to an algebraic equation. The existence and applicability of the IRR may be guaranteed by rather general conditions, e.g. those of Norstrom theorem. Under uncertainty, the IRR ceases to be uniquely determined even for typical projects (a project is typical if costs precede returns). Under uncertainty, the IRR can take values from a more or less large set of possible values. A key problem is to transform the information about initial parameters into a distribution of the IRR values. Probabilistic methods can be used if quite a number of stringent requirements are met. If an unusual or extraordinary project is considered the probabilistic approach is not sufficiently substantiated. In such cases possibilistic methods and fuzzy set theory seem to be more suitable. The present paper aims to provide a method for evaluating the IRR of investment projects with fuzzy cash flows using the possibility theory. Given a fuzzy cash flow, the IRR is presented as a fuzzy set and the membership function may be considered as a version of distribution. Under the standard addition of fuzzy numbers we give explicit formulas for the membership function of the IRR. If components of a fuzzy cash flow are correlated we use the addition of fuzzy numbers with respect to t-norms. Generally, a possibilistic evaluation of the IRR with respect to a non-standard t-norm is rather difficult and was not considered before. If the t-norm is generated by a convex additive generator we reduce the evaluation of the IRR to a common convex optimization problem. A numerical example is presented. We believe the proposed method can be applied to evaluating the efficiency of investment projects with fuzzy cash flows. Внутренняя норма доходности (ВНД) является одной из важнейших характеристик инвестиционных проектов. В детерминированном случае ВНД инвестиционного проекта может быть определена как решение соответствующего алгебраического уравнения. Достаточно общие требования к потоку платежей (например, условия теоремы Норстрема) гарантируют существование ВНД и возможность ее применения в качестве одного из критериев эффективности проекта. С учетом фактора неопределенности ВНД перестает быть однозначно определенной даже для типичных проектов, в которых затраты предшествуют отдаче. Неопределенность значений параметров проекта приводит к тому, что появляется некоторое множество возможных значений ВНД. Если имеется информация о распределении значений параметров, она должна трансформироваться в распределение значений ВНД. Теория вероятностей предоставляет механизм подобной трансформации в случае, когда неопределенность удовлетворяет ряду довольно строгих требований. В ряде случаев, особенно когда речь идет об уникальных проектах, применение теоретико-вероятностных методов не выглядит достаточно обоснованным. В подобных ситуациях более адекватным представляется применение методов теории возможностей и теории нечетких множеств. В настоящей статье методы теории возможностей используются для вычисления ВНД инвестиционных проектов с нечетко определенными платежами. ВНД таких проектов представляет собой нечеткое множество, распределение возможностей в котором задается функцией принадлежности. В случае стандартного суммирования нечетких величин получены явные формулы для вычисления функции принадлежности. Наличие зависимости между платежами (например, малая вероятность одновременной реализации пессимистических сценариев по различным параметрам) позволяет учесть суммирование относительно т-норм. Расчет ВНД относительно нестандартных т-норм в общем случае сложен и ранее не применялся. В работе показано, как этот расчет может быть сведен к решению сравнительно несложной задачи выпуклого программирования в таком достаточно общем случае, когда т-норма порождается выпуклым аддитивным генератором, и приведен пример соответствующего расчета. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего исследования критериев сравнения эффективности инвестиционных проектов с нечетко определенными платежами на основе теории возможностей.