A four-person chess-like game without Nash equilibria in pure stationary strategies

В статье рассматривается пример конечной позиционной игры с полной информацией и без случайных ходов (так называемая игра шахматного типа), которая не имеет равновесий Нэша в чистых стационарных стратегиях. В этом примере число игроков n равно 4, число терминальных позиций p равно 5; при этом граф игры имеет всего один ориентированный цикл. С другой стороны, известно, что игра шахматного типа имеет равновесие Нэша в чистых стационарных стратегиях, если выполнено хотя бы одно из следующих трех условий: либо (А) n 2; либо (B) p 3 и (C) любой игрок предпочитает любую терминальную позицию любой бесконечной партии; либо (D) каждый из n игроков контролирует всего одну позицию; либо (E) граф не имеет ориентированных циклов. Остается открытым вопрос, существует ли игра шахматного типа, имеющая хотя бы один ориентированный цикл и не имеющая равновесий Нэша в следующих четырех случаях: (A’) n = 3; (B’) 2 p 4; (C’) n > 2, p > 3 и условие (C) выполняется; (D’) каждый из n игроков контролирует не более двух позиций. В нашем примере n = 4, p = 5, условие (C) не выполнено и один из игроков контролирует три позиции.