Stochastische Prozesse

Zusammenfassung In den bisherigen Ausführungen standen mathematische bzw. stochastische Modelle für zufallsabhängige Phänomene (Zufallsexperimente), beispielsweise Urnenexperimente oder Würfelwürfe im Mittelpunkt. Von besonderer Bedeutung waren dabei Eigenschaften verteilter Zufallsvariablen $$X_{i}$$ X i in Form von Volatilitäten bzw. Schwankungsrisiken und Compound-verteilten Ereignisrisiken mit und ohne Begrenzungen zu beschreiben. Stochastische Prozesse gehen über diese singuläre Betrachtung zeitlich eindimensionaler Risiken hinaus und betrachten das Konzept der stochastisch unabhängigen Folgen identisch verteilter Zufallsvariablen auf einem festgelegten, in die Zukunft gerichteten Zeitstrahl oder aufeinanderfolgender Zufallsexperimente. Das wesentliche Kriterium eines stochastischen Prozesses von einer Folge durchgeführter Experimente ist, dass das in den vorangegangenen Versuchen erzielte Ergebnis auf das Gesamtergebnis Einfluss nimmt. Ein stochastischer Prozess wird als Folge von Zufallsvariablen $$X\left( t \right)_{t}$$ X t t , mit dem zeitlichen Index $$t$$ t aus einer Indexmenge der natürlichen Zahlen definiert (vgl. [10, 15]). Abhängig davon, ob für jedes Teilsegment eines Intervalls eine oder nur für etwa ganzzahlige $$t$$ t eine Zufallsvariable $$X\left( t \right)_{t}$$ X t t bestimmbar ist, unterscheidet man stetige oder diskrete stochastische Prozesse als Funktion über die Indexmenge $$t$$ t . Eine beispielhafte Anwendung der Theorie stochastischer Prozesse erfolgt in der Analyse von Zeitreihen, in der Marktforschung und insbesondere auch in der Betrachtung mehrerer Perioden im Risikomanagement. Dabei wird ausgehend von einer belastbaren Planung, versucht über $$n$$ n Perioden in die Zukunft eine Prognose über mögliche Entwicklungen abzuleiten.