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Optionsbewertung unter Lévy-Prozessen – Eine Analyse für den deutschen Aktienindex

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  • Andreas Rathgeber

    (Universität Augsburg, Lehrstuhl für Betriebswirtschaftslehre, Finanz- und Bankwirtschaft, Universitätsstraße 16, D-86159 Augsburg)

Abstract

Zahlreiche empirische Untersuchungen haben gezeigt, dass Verteilungen von Aktienkursren­diten nur unzureichend durch die Normalverteilung abgebildet werden können. Zur Approxi­mation der Verteilung erwiesen sich in der Literatur und erweisen sich meist die nichtnorma­len stabilen Verteilungen als besser geeignet. Diese Verteilungsklasse hat aber den Nachteil, dass die für die klassische Optionswertberech­nung nötigen Exponentialmomente nur selten endlich sind. Erweitert man den Verteilungstyp und betrachtet ein Aggregat mehrerer voneinander unabhängiger Zufallsvariablen samt Ver­teilungsfunktionen, erzeugt man einen stochastischen Prozess, den Lévy-Prozess, für den ei­nige Vertreter gefunden werden können, die endliche Exponentialmomente besitzen. Auf Basis dieser die empirischen Daten besser abbildenden Prozesstypen kann dann eine Op­tionsbewertung vorgenommen werden. Allerdings kann diese Optionsbewertung nur teilweise analog zur klassischen Vorgehensweise bei Black/Scholes und Merton erfolgen. Die Bewer­tung findet zwar auf Basis der Arbitragefreiheitsannahmen statt. Allerdings ist der Markt meist nicht vollständig, sodass keine Duplikation stattfinden und kein eindeutiges äquivalen­tes Martingalmaß abgeleitet werden kann. Um ein eindeutiges Wahrscheinlichkeitsmaß zu erzeugen, müssen zusätzliche Annahmen ge­troffen werden, wie etwa das Einführen einer Nutzenfunktion, das Aufsuchen einer risikomi­nimalen Strategie oder das einfache ex ante Festlegen einer Maßwechselfunktion. Im Beitrag wird die Esscher-Transformation als Maßwechselfunktion festgelegt. Auf Basis des dann eindeutigen Martingalmaßes kann ein Optionspreis abgeleitet werden. Wendet man diese Vorgehensweise auf europäische Kaufoptionen auf den DAX an, stellt man deutliche Abweichungen zu den Preisen nach Black/Scholes und Merton fest. Ermittelt man aus den so bestimmten Preisen für europäische Kaufoptionen die impliziten Volatilitäten, zeigt sich der charakteristische in vielen Studien beobachtete Smile-Effekt.

Suggested Citation

  • Andreas Rathgeber, 2007. "Optionsbewertung unter Lévy-Prozessen – Eine Analyse für den deutschen Aktienindex," Credit and Capital Markets, Credit and Capital Markets, vol. 40(3), pages 451-484.
  • Handle: RePEc:kuk:journl:v:40:y:2007:i:3:p:451-484
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    JEL classification:

    • G13 - Financial Economics - - General Financial Markets - - - Contingent Pricing; Futures Pricing
    • C22 - Mathematical and Quantitative Methods - - Single Equation Models; Single Variables - - - Time-Series Models; Dynamic Quantile Regressions; Dynamic Treatment Effect Models; Diffusion Processes

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