Considerazioni Didattiche sui Sistemi Omogenei di Equazioni Differenziali Lineari del 1° Ordine a Coefficienti Costanti

La presente nota, di intenti prevalentemente didattici, prende lo spunto dal corso di Economia Matematica tenuto dal primo degli autori presso il Dipartimento di Scienze Eco- nomiche e Aziendali dell'?Università di Pavia. Ci proponiamo, infatti, di appianare alcune difficoltà relative alla ricerca delle soluzioni reali del sistema omogeneo x'(t) = Ax(t), di equazioni differenziali, allorchè la matrice A (reale e quadrata) ammette autovalori complessi (coniugati) e, quindi, anche autovettori complessi (coniugati). Cerchiamo, inoltre, di fornire una giusti?cazione dei procedimenti risolutivi nel caso la matrice A sia non diagonalizzabile (a causa di autovalori multipli non regolari). Tale caso, infatti, porta a complicazioni formali, di solito trattate solo nei testi espressamente dedicati alla teoria delle equazioni differenziali ordinarie. Nell?'Introduzione richiamiamo alcuni concetti fondamentali relativi ai sistemi di equazioni differenziali lineari del 1° ordine. Nel secondo paragrafo analizziamo il problema della ricerca della soluzione generale del sistema omogeneo x'(t) = Ax(t). Nel terzo paragrafo esaminiamo le condizioni di stabilità della soluzione nulla del suddetto sistema. Nel quarto paragrafo raccogliamo gli esempi di supporto alla trattazione degli argomenti considerati nei precedenti paragrafi.